Back

Algebră · Clasele V–VIII

Mulțimi. Mulțimile de numere

Notații, apartenență, incluziune, mulțimile \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\)

Fișa 1

Noțiunea de mulțime

O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elemente. Se notează cu litere mari: \(A,\ B,\ M\); elementele cu litere mici.

  • \(x \in A\) — \(x\) aparține mulțimii \(A\);
  • \(x \notin A\) — \(x\) nu aparține lui \(A\);
  • \(\varnothing\) — mulțimea vidă (fără niciun element);
  • \(\operatorname{card}(A)\) sau \(|A|\) — numărul de elemente (cardinalul);
  • \(A \subset B\) — \(A\) este inclusă în \(B\): orice element al lui \(A\) este și element al lui \(B\);
  • \(A = B \iff A \subset B\) și \(B \subset A\).
Moduri de a descrie o mulțime
Prin enumerare\(A = \{1,\ 3,\ 5,\ 7\}\)
Prin proprietate\(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ impar},\ x \lt 8\}\)
Cu diagrama Venn–Eulerelementele se scriu în interiorul unei curbe închise

Mulțimile de numere

MulțimeDenumireDescriere
\(\mathbb{N}\)numere naturale \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}\); \(\ \mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\setminus\{0\}\)
\(\mathbb{Z}\)numere întregi \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\); \(\ \mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\)
\(\mathbb{Z}_{+}=\{x\in\mathbb{Z}\mid x \gt 0\},\ \ \mathbb{Z}_{-}=\{x\in\mathbb{Z}\mid x \lt 0\}\)
\(\mathbb{Q}\)numere raționale \(\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\ \middle|\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^{*}\right\}\)
sunt numerele care se pot scrie ca fracție
\(\mathbb{R}\)numere reale \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\); \(\ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}=\) numere iraționale
\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\]

Numere iraționale

Numere care nu se pot scrie sub formă de fracție. Scrierea lor zecimală este infinită și neperiodică.

\[\sqrt{2},\quad \sqrt{3},\quad \sqrt[3]{5},\quad \pi,\quad 0{,}1234\dots\]

Axa numerelor

Fiecărui număr real îi corespunde un punct pe axă și reciproc.

u −3−2−1 0123

\(u\) = unitatea de măsură; \(O\) = originea.

Atenție Orice număr natural este întreg, orice întreg este rațional, orice rațional este real — dar nu și invers. De exemplu \(-3\in\mathbb{Z}\), dar \(-3\notin\mathbb{N}\); \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\), dar \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
Exemple rezolvate

Exemplul 1.1

Scrieți prin enumerarea elementelor mulțimea \(A=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ este divizor al lui } 12\}\) și precizați \(\operatorname{card}(A)\).

Rezolvare

Divizorii lui \(12\) se obțin din descompunerea \(12=2^{2}\cdot 3\):

\[A=\{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,12\},\qquad \operatorname{card}(A)=6.\]

Verificare cu formula numărului de divizori: \((2+1)(1+1)=6\). ✓

Exemplul 1.2

Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor: a) \(-5\in\mathbb{N}\); b) \(\sqrt{9}\in\mathbb{Z}\); c) \(\dfrac{6}{3}\in\mathbb{N}\); d) \(\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\).

Rezolvare

a) Fals — \(\mathbb{N}\) conține doar numere nenegative, iar \(-5 \lt 0\).
b) Adevărat — \(\sqrt{9}=3\in\mathbb{Z}\).
c) Adevărat — \(\dfrac{6}{3}=2\in\mathbb{N}\).
d) Fals — \(\sqrt{2}\) este irațional, deci \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).

Exemplul 1.3

Arătați că numărul \(a=0{,}(6)\) este rațional.

Rezolvare

Este o fracție periodică simplă, cu perioada formată dintr-o cifră:

\[0{,}(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.\]

Cum \(2\in\mathbb{Z}\) și \(3\in\mathbb{Z}^{*}\), rezultă \(a\in\mathbb{Q}\).

Exemplul 1.4

Determinați numerele întregi \(x\) pentru care \(\dfrac{12}{x+2}\in\mathbb{Z}\).

Rezolvare

Trebuie ca \(x+2\) să fie divizor întreg al lui \(12\):

\[x+2\in\{\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12\}.\]

Scăzând \(2\) din fiecare valoare:

\[x\in\{-14,\ -8,\ -6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 4,\ 10\}.\]

Exemplul 1.5

Scrieți mulțimea \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x \lt 4\}\) prin enumerarea elementelor și calculați suma acestora.

Rezolvare

\[B=\{-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3\},\qquad \operatorname{card}(B)=7\]

Suma: \(-3-2-1+0+1+2+3=0\), deoarece termenii opuși se reduc.